+ Konu Cevapla
1 den 4´e kadar. Toplam 4 Sayfa bulundu

Rasyonel Sayılar ve Özellikleri

 Eğitim Öğretim Bölümü Katagorisinde ve  Matematik Forumunda Bulunan  Rasyonel Sayılar ve Özellikleri Konusunu Görüntülemektesiniz.=>1-RASYONEL SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ A)Rasyonel Sayılar:Birbirine denk olan kesirlerin meydana getirdiği her kümeye rasyonel sayı denir.Rasyonel sayıların meydana getirdiği kümelere ...

  1. #1
    CaNDy'S
    Misafir

    Tanımlı Rasyonel Sayılar ve Özellikleri





    1-RASYONEL SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ
    A)Rasyonel Sayılar:Birbirine denk olan kesirlerin meydana getirdiği her kümeye rasyonel sayı denir.Rasyonel sayıların meydana getirdiği kümelere rasyonel sayılar kümesi denir.Rasyonel sayılar kümesi “Q” ile gösterilir.

    NOT:Her tam sayı rasyonel sayı olarak yazılabilir.
    ÖR:
    Yandaki şekilde,bir bütün 4 eş parçaya
    bölünmüş ve bu eş paçalardan üç tanesi . taranmıştır.

    3
    4

    Taralı bölge,bütünün üç tane parçası(kesri)dir.Bu parçaları belirten kesir, 3 biçiminde gösterilir.
    4
    3 kesrinde; 3’e pay,4’e payda denir: 3 kesri, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur.

    NOTıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir.

    Pozitif rasyonel sayılar kümesi “Q+”ile gösterilir. Negatif rasyonel sayılar kümesi”Q-“ile gösterilir.


    Q = Q- U {0} U Q+








    -1-
    B)Rasyonel Sayıları Karşılaştırma (büyüklük ,küçüklük)
    1-Paydaları eşit olan rasyonel sayılar:
    Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda payı büyük olan daha büyük,payı küçük olan daha küçüktür.

    ÖR: 15 , 7 , 3 3 7 15
    20 20 20 20 20 20

    Paydaları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidir.Payı büyük olan negatif rasyonel sayılar küçük,payı küçük olan negatif rasyonel sayılar büyüktür.
    ÖR: 15 , 7 , 3 15 7 3
    20 20 20 20 20 20

    2-Payları eşit olan rasyonel sayılar:
    Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda paydası küçük olan daha büyük, paydası büyük olan daha küçüktür.

    ÖR: 7 , 7 , 7 7 7 7
    9 5 3 3 5 9

    Payları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidir.Paydası büyük olan negatif rasyonel sayılar büyük paydası küçük olan negatif rasyonel sayılar küçüktür.

    ÖR: 7 , 7 , 7 7 7 7
    9 5 3 9 5 3

    3-Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılar:
    Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılarda pay paydaya bölünerek sıralama yapılır.
    ÖR: 18 , 7 , 48 18:3=6 48 7 18
    3 4 57 7:4=1,75 57 4 3
    48:57=0,84


    -2-



    Arada olma
    İki rasyonel sayı arasına bir yada birkaç rasyonel sayı yerleştirmeye denir.
    ÖR: 2 ile 4
    3 5

    I.YOL: 2 4 II:YOL:2 4 III.YOL: 1 2 4
    3 5 3 5 2 3 5
    2

    1 2 4 1 10 12 1 22 22
    2 3 5 2 15 15 2 15 30


    ÖR: 5 ile 7 1 5 7 1 15 14
    4 6 2 4 6 2 12 12

    1 29 29
    2 12 24

    5 29 7
    4 24 6
    C-İrrasyonel sayılar:
    Sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olmasına karşın,rasyonel olmayan
    gibi sayılara irrasyonel sayılar denir.İrrasyonel sayıların oluşturduğu kümeye irrasyonel sayılar kümesi denir.
    Gerçek (reel) sayılar kümesi:Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayıların birleşim kümesine gerçek (reel) sayılar kümesi denir.Gerçek
    sayılar kümesi ,sayı ekseninin her noktasını doldurur.Sayı doğrusu üzerinde her noktaya bir gerçek sayı her gerçek sayıya da bir nokta karşılık gelir.
    Gerçek sayılar kümesi,”R” sembolü ile gösterilir.
    -3-


    2-RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ

    a)Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
    Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken ,rasyonel sayıların paydaları eşit değilse ,paydalar eşitlenir.Payların mutlak değerleri toplamı paya yazılır.Ortak payda,paydaya yazılır.toplananların ortak işareti,toplama ,işaret olarak verilir.

    Tam sayılı kesirler toplanırken ,bu kesirler bileşik kesre çevrilerek toplama işlemi yapılır.

    ÖR: +3 +7 +3 +35 +3 +38
    5 1 5 35 3 5

    b)Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
    Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken, rasyonel sayıların paydaları eşit değilse eşitlenir.payların mutlak değerleri farkı alınır,paya yazılır.Ortak payda ,paydaya yazılır.toplam olan rasyonel sayının işareti ise,mutlak değeri büyük olan rasyonel sayının işaretidir.

    ÖR: 1 2 1 20 24 15
    3 5 4 60 60 60


    +20+24+(-15)
    60

    +44+(-15)
    60

    29
    60




    -4-
    3-RASYONEL SAYILAR KÜMESİNDE TOPLAMA
    İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ


    a)Kapalılık özelliği:İki rasyonel sayının toplamı , yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.

    ÖR: - 2 + 2 -4 +2 -2
    3 6 6 6 6

    b)Değişme özelliği:Rasyonel sayılar kümesinde,toplama işleminin değişme özelliği vardır.

    ÖR: -4 +1 -8 +7 -1
    7 2 14 14 14

    +1 -4 +7 -8 -1
    2 7 14 14 14

    -4 +1 +1 - 4
    7 2 2 7

    c)Birleşme özelliği:rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

    ÖR: 4 3 1 4 4 8
    5 5 5 5 5 5

    4 3 1 7 1 8
    5 5 5 5 5 5

    4 3 1 4 3 1
    5 5 5 5 5 5





    -5-
    d)Etkisiz (birim) eleman özelliği:”0”tam sayısına,rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim )elemanı denir.
    ÖR: -7 -7 -7 -7
    9 9 9 9

    buna göre;

    -7 -7
    9 9


    e)Ters eleman özelliği:Toplamları “0”tam sayısına eşit olan iki rasyonel sayıya toplama işlemine göre birbirinin tersi denir.

    ÖR: +5 -5
    20 20

    -5 +5
    20 20

    4-RASYONEL SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ
    İki rasyonel sayının farkı bulunurken,eksilen rasyonel sayı,çıkan rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi ile toplanır.

    ÖR: +3 +1 +3 -1 +18 -5 +13
    5 6 5 6 30 30 30



    ÖR: +7 +5 +7 +25
    10 2 10 10

    +7 -25 -18
    10 10 10



    -6-

    Yukarıda verilen örneğe göre iki rasyonel sayının farkı,yine bir rasyonel sayıdır.Buna göre ;
    Rasyonel sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır.

    5-RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ
    İki rasyonel sayının çarpma işlemi payların çarpımı paya,paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır.

    NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının çarpımı pozitif , ters işaretli iki rasyonel sayının çarpımı ise negatif bir rasyonel sayıdır.
    Yani:
    + x + = +
    - x - = +
    - x + = -
    + x - = -


    ÖR: -4 +3 (-4)x(+3) -12
    1 4 1 x 4 4

    NOT:Tam sayılı kesir biçminde verilen rasyonel sayılar çarpılırken önce tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir.Sonra çarpma işlemi yapılır.


    6-RASYONEL SAYILAR KÜMESİNDE ÇARPMA
    İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

    a)Kapalılık özelliği:
    İki rasyonel sayının çarpımı yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.

    ÖR: +3 -2 -6
    4 3 12



    -7-
    b)Değişme özelliği:
    Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

    ÖR: -19 -1 +19
    20 3 60

    -1 -19 -19
    3 20 60



    c)Birleşme özelliği:
    Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
    ÖR: +3 -2 +1 -6 +1 -6
    1 3 5 3 5 15

    +3 -2 +1 +3 -2 -6
    1 3 5 1 15 15


    d)Yutan eleman:
    Bir rasyonel sayının “0”sayısı ile çarpımı “0”dır.”0”sayısına ,çarpma işleminin yutan elemanı denir.

    ÖR: -7 -7
    9 9

    e)Etkisiz birim eleman:
    +1 rasyonel sayısına, çarpma işlemine göre etkisiz (birim) eleman denir.

    ÖR: +4 +4 +4 +4
    3 3 3 3


    -8-
    f)Ters eleman:
    Çarpımları +1 olan iki rasyonel sayıya çarpma işlemine göre tersi denir.

    ÖR: +2 +3 2 x 3 +1
    3 2 3 x 2 1

    g)Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği:
    Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

    ÖR: +1 +2 +1 +1 +3 +3
    2 4 4 2 4 8

    +1 +2 +1 +1 +2 +1 +1
    2 4 4 2 4 2 4

    +2 1 +3
    8 8 8

    h)Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği:
    Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
    ÖR: 1 2 1 1 1 1
    2 4 4 2 4 8

    1 2 1 1 2 1 1
    2 4 4 2 4 2 4

    2 1
    8 8

    1
    8



    -9-
    7-RASYONEL SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ
    İki rasyonel sayının bölme işlemi yapılırken, bölünene rasyonel sayı , bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır.Elde edilen çarpım bölümü verir.
    NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının bölümü pozitif;ters işaretli ki rasyonel sayının bölümü ise negatif bir rasyonel sayıdır.

    Yani: + x + = +
    - x - = +
    - x + = -
    + x - = -


    ÖR: -3 +2 -3 +4 -3
    4 4 4 2 2



    +1 tam sayısının , bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm,bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersine eşittir.

    ÖR: -2 1 -7 -7
    7 1 2 2


    (-1)tam sayısının, bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersinin ters işaretlisine eşittir.

    ÖR: 12 +17 17
    17 12 12






    -10-
    Bir rasyonel sayının , +1 tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm , rasyonel sayının kendisine eşittir.


    Bir rasyonel sayının,(-1) tamsayısına bölünmesinden elde edilen
    bölüm , bölünen rasyonel sayının toplama işlemine göre tersine eşittir.

    ÖR: -2 -2 1 -2 1 -2
    7 7 1 7 1 7

    ÖR: -2 -2 -1 -2 -1 2
    7 7 1 7 1 7


    NOT:Sıfır sayısının , sıfırdan farklı olan her rasyonel sayıya bölümü ”0” dır.


    Bir rasyonel sayının sıfıra bölümü taımsızdır.
    Rasyonel sayılar kümesinde bölme işleminde , doğal sayılar ve tam sayılar kümesindeki bölme işleminde olduğu gibi; ”bölünen = bölen x bölüm” ilişkisi vardır.

    NOT:Rasyonel sayılar kümesi , bölme işlemine göre kapalıdır.

    NOT:Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin değişme özelliği yoktur.

    NOT:Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.


  2. #2
    CaNDy'S
    Misafir

    Tanımlı

    RASYONEL SAYILAR
    a ve b birer tamsayı, b sıfırdan farklı ve a ile b aralarında asal ise, a/b şeklinde yazılabilen sayılara, Rasyonel Sayı denir. Yani, denk kesirlerin belirttiği sayıdır. Rasyonel sayıların oluşturduğu topluluğa, Rasyonel Sayılar Kümesi denir ve Q ile gösterilir. Buradan, Rasyonel Sayılar Kümesini,
    Q = {x: x=a/b; a, b Є Z ve b ≠ 0; a ile b aralarında asal }
    şeklinde gösterebiliriz. Örneğin,
    1/5, 2/3, 4, 8/5, -1/2, -6/5, 0, ...
    sayıları, birer rasyonel sayıdır.
    Bazı Özellikler:
    Her doğal sayı, bir tamsayıdır.
    Her tamsayı, bir rasyonel sayıdır. Çünkü, tamsayıların paydası vardır ve 1' dir.
    a/b = c/b ise, a=c dir.
    a/b=c/d ise, a.d=b.c dir.
    a ile b ve c ile d aralarında asal ve a/b=c/d ise, a=c ve b=d dir.

    RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER

    1. TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ:

    Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için, paydaların eşit olması gerekir. Şayet, paydalar eşit değilse, paydalar eşitlenir. Ortak payda, payda olarak alınırken, toplama işleminde payların toplamı paya, çıkarma işleminde payların farkı paya yazılır. Bu kuralı, aşağıdaki şekillerde gösterebiliriz:





    Özellik: a/b sayısının toplama işlemine göre tersi, -a/b dir, yani ters işaretlisidir.

    Örnekler:











    2. ÇARPMA İŞLEMİ

    Rasyonel iki sayının çarpımı, payların çarpımı paya, paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır. Yani,

    şeklinde yapılmalıdır. İşaret kuralı, tamsayılardaki gibidir. a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi, b/a dır. a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi,
    (a/b)-1 = b/a
    şeklinde gösterilir.

    Örnekler:





    3. BÖLME İŞLEMİ

    Rasyonel iki sayının bölümü, ilk sayı aynen yazılır, ikinci sayı ters çevrilip çarpılır. Yani, ilk sayı, ikinci sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır. Bölme işleminin genel kuralı,

    şeklindedir. Burada b, c ve d' nin sıfırdan farklı olması gerekir. Çünkü, sıfıra bölme tanımsızdır. Diğer taraftan, sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümü, sıfırdır. İşaret kuralı, çarpma işlemindeki gibidir.

    Örnekler:







    Karışık Örnekler:

    Örnek 1:

    olduğuna göre,

    toplamının a cinsinden değeri nedir?

    Çözüm:
    Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplarsak,

    olur. Yani, a+b=12 bulunur. Buradan, b=12-a çıkar.







    Örnek 2:

    sayısı,

    sayısının kaç katıdır?

    Çözüm:
    Bir sayının bir başka sayının kaç katı olduğunu bulmak için, bölme işlemi yapılmalıdır. Bu takdirde,


    Örnek 3:

    olduğuna göre, a kaçtır?

    Çözüm:
    Eşitliğin sol tarafı sonsuza dek gittiğinden,

    yazabiliriz. Buradan, a/10 = 10-5, a/10 = 5, a= 10.5, a=50 bulunur.

    Örnek 4:


    Çözüm:

    yazılabilir. Buradan,
    4x + 5 = x2
    x2-4x -5 = 0
    Çarpımları -5, toplamları -4 olan iki sayı, -5 ile +1 olduğundan,
    (x-5).(x+1) = 0
    yazabiliriz. Böylece,
    x=5 ile x=-1 bulunur. Pozitif değerlerin toplamı negatif olamayacağından, x = 5 olmalıdır.

    Not: 5, 4' ün 1 fazlası olduğundan, sonuç 5 çıkmıştır. 4' ün yerinde 8 ve 5' in yerinde 9 bulunsaydı, sonuç 9 olacaktı. 4' ün yerine a ve 5' in yerine de b koyarsak, şayet b, a' nın 1 fazlası (b=a+1) ise, bu işlemin sonucu, b olur.

    Örnek 5:

    işleminin sonucu, yaklaşık olarak aşağıdakilerden hangisi olabilir?
    a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

    Çözüm:
    Verilen işlem, sonsuzlu işlem olduğundan, 3' ün paydasına x dersek, işlemin tamamı da x olur. Dolayısıyla,

    yazabiliriz. Buradan, 4x -3 = x2, x2 -4x +3 = 0 olur. Bu denklem de, (x-3)(x-1)=0 şeklinde yazılabileceğinden, x=3 ile x=1 bulunur. Dolayısıyla, doğru seçenek (b) şıkkıdır.

    Not:

    işleminde, (a/2)2 = b ise, bu işlemin sonucu a/2 dir.

    Örnek 6:


    Çözüm: (8/2)2 = 42 = 16 olduğundan, işlemin sonucu a/2= 8/2 = 4 tür.


    RASYONEL SAYILARIN SIRALANMASI :

    Pozitif Rasyonel Sayıların Sıralanması:

    1) Paydaları eşit olan rasyonel sayıların, payı büyük (küçük) olan rasyonel sayı diğerinden daha büyüktür (küçüktür).

    Örnek:
    7/5 ile 3/5 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

    Çözüm:
    Bu iki rasyonel sayının paydaları eşit olduğundan, payı büyük olan daha büyük, payı küçük olan daha küçüktür. Bu nedenle, bu rasyonel sayılar

    şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralanabilir.

    2) Payları eşit olan rasyonel sayılardan paydası küçük (büyük) olan daha büyüktür (küçüktür).

    Örnek:
    12/25 ile 12/35 rasyonel sayılarını sıralayınız.

    Çözüm:
    Bu iki rasyonel sayının payları eşit olduğundan, paydası küçük olan daha büyük olduğundan,

    şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralayabiliriz. Diğer taraftan,

    şeklinde büyükten küçüğe doğru da sıralayabiliriz.

    3) Rasyonel sayıların payları ile paydaları arasındaki fark eşit ise,
    Şayet, rasyonel sayılar basit kesir şeklinde iseler, payı küçük olan daha küçüktür.
    Şayet, rasyonel sayılar bileşik kesir şeklinde iseler, payı küçük olan daha büyüktür.

    Örnek:
    12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

    Çözüm:
    12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarının her ikisi de basit kesirdir. Ayrıca, her iki kesrin payı ile paydası arasındaki fark 5' tir. Dolayısıyla, payı küçük olan daha küçüktür. Bu nedenle, 12/17 rasyonel sayısı, 14/19 rasyonel sayısından daha küçüktür. Yani,

    şeklinde yazabiliriz.

    Örnek:
    107/105 ile 359/357 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

    Çözüm:
    107/105 ile 359/357 rasyonel sayılarının her ikisi de bileşik kesirdir. Ayrıca, her iki kesrin payı ile paydası arasındaki fark 2' dir. Dolayısıyla, payı küçük olan daha büyüktür. Bu nedenle, 359/357 rasyonel sayısı, 107/105 rasyonel sayısından daha küçüktür. Yani,

    dir.

    4) Rasyonel sayılar, ondalık kesre çevrilerek de sıralanabilir.

    Örnek:
    10/11 ile 100/111 kesirlerini sıralayınız.

    Çözüm:
    a=10/11 olsun. O zaman, 1/a=11/10=1,1 olur.
    b=100/111 olsun. O zaman, 1/b=111/100=1,11 olur.
    Dolayısıyla,

    dir. Buradan, b < a bulunur. Ayrıca, a > b şeklinde de yazabiliriz.

    5) Rasyonel sayılar, tamsayılardan daha yoğundur. Bu nedenle, iki rasyonel sayı arasında daima başka bir rasyonel sayı vardır. Buna, rasyonel sayılar sıktır ya da yoğundur denir. Bundan dolayı, rasyonel sayılarda ardışıklıktan s&#246;z edilemez. İki rasyonel sayının arasında yer alan bir başka rasyonel sayı ş&#246;yle bulunabilir:
    a/b ile c/d birer rasyonel sayı ve a/b < c/d ise, bu iki rasyonel sayı arasında yer alan başka bir rasyonel sayı,

    şeklinde bulunabilir.

    &#214;rnek:
    1/2 ile 3/5 rasyonel sayıları arasındaki rasyonel sayıyı bulunuz.

    &#199;&#246;z&#252;m:

    bulunur. Dolayısıyla,

    yazabiliriz.

    6) İki rasyonel sayı arasında yer alan rasyonel sayıları bulmak i&#231;in, bu iki rasyonel sayının paydaları eşitlenir.

    &#214;rnek:
    Aşağıdakilerden hangisi 1/6 ile 2/5 arasında yer almaz?
    a) 7/30 b) 9/30 c) 10/30 d) 11/30 e) 13/30

    &#199;&#246;z&#252;m:
    1/6 ile 2/5 kesirlerinin paydaları 30' a eşitlenirse, 1/6=5/30 ve 2/5=12/30 olur. Dolayısıyla, 5/30 ile 12/30 arasındaki rasyonel sayılar
    6/30, 7/30, 8/30, 9/30, 10/30, 11/30
    dir. Buna g&#246;re, 13/30 rasyonel sayısı bu ikisi arasında bulunmaz. Doğru se&#231;enek, (e) şıkkıdır.

    Negatif Rasyonel Sayıların Sıralanması:

    Rasyonel sayılar &#246;nce işaretsiz (pozitif) olarak sıralanır. Sonra da ters sıralama yapılarak, negatif değerlerin sıralaması elde edilir. &#199;&#252;nk&#252;, sıralama sembollerinin her iki tarafı negatif bir sayı ile &#231;arpılırsa, sıralama sembol&#252; y&#246;n değiştirir.

    &#214;rnek:
    a = -1/3 ve b = -2/7 ise, a ile b' yi sıralayınız.




    &#199;&#246;z&#252;m:
    a ile b negatif rasyonel sayılar olduğundan, işaretsiz olarak ele almalıyız. Yani, 1/3 ile 2/7 sayılarını g&#246;z &#246;n&#252;ne alalım. Bu iki kesrin, paylarını eşitleyelim. Bu takdirde, 1/3 = 2/6 olur ve 2/7 sayısı ile birlikte g&#246;z &#246;n&#252;ne alınırsa, payları eşit olan kesirlerden, paydası k&#252;&#231;&#252;k olan daha b&#252;y&#252;k olduğundan, 2/6 sayısı 2/7 sayısından daha b&#252;y&#252;kt&#252;r. B&#246;ylece,

    olur. Rasyonel sayıların işaretlerini negatif alıp, eşitsizliğin y&#246;n&#252;n&#252; değiştirirsek,

    buluruz. Dolayısıyla, a < b dir.

    &#214;rnek:
    x < 0 olmak &#252;zere, a = x/3 ve b = x/7 sayılarını k&#252;&#231;&#252;kten b&#252;y&#252;ğe doğru sıralayınız.

    &#199;&#246;z&#252;m:
    Şayet x > 0 olsaydı,

    olacaktı. x < 0 olduğu i&#231;in,

    olur.

    &#214;rnek:

    ise, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
    a) 1 < x < 3 b) 1/2 < x < 5/2 c) 22/3 < x < 26 d) 4 < x < 26/3
    e) 22/3 < x < 12

    &#199;&#246;z&#252;m:
    Verilen sıralamanın her &#252;&#231; tarafını da 4 ile &#231;arparsak,

    olur ve sonra da sıralamanın her &#252;&#231; tarafına da 6 sayısını eklersek sıralamada herhangi bir değişiklik olmayacağından,

    22/3 < x < 26
    bulunur. Doğru se&#231;enek (c) şıkkıdır.

    &#214;rnek:
    a=10/11, b=100/111, c=1000/1111
    olduğuna g&#246;re, aşağıdaki sıralamalardan hangsi doğrudur? (&#214;SS-1999, iptal sın.)
    a) c < b < a b) c < a < b c) a < b < c d) a < c < b e) b < c < a

    &#199;&#246;z&#252;m:
    a=10/11=1/1,1
    b=100/111= 1/1,11
    c=1000/1111=1/1,111
    payları eşit olan kesirlerin, paydası en b&#252;y&#252;k olan daha k&#252;&#231;&#252;k olduğundan,
    a > b > c olur. Doğru se&#231;enek (a) şıkkıdır.
    &#214;rnek:
    a > 0, b > 0, c > 0 ve

    olduğuna g&#246;re, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? (&#214;SS-1992)
    a) a < c < b b) a < b < c c) b < a < c d) b < c < a e) c < b < a

    &#199;&#246;z&#252;m:
    a, b ve c pozitif sayılar olduğundan,

    yazabiliriz. Buradan, a=5, b=15 ve c=10 olur. B&#246;ylece, a < c < b bulunur. Doğru se&#231;enek (a) dır.

    &#214;rnek:
    a=7/8, b=10/11, c=13/5
    sayılarının k&#252;&#231;&#252;kten b&#252;y&#252;ğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
    a) a < c < b b) a < b < c c) b < c < a d) c < b < a e) c < a < b

    &#199;&#246;z&#252;m:
    a ile b kesri basit bir kesirken, c bileşik kesirdir. Bu nedenle, c bileşik kesri en b&#252;y&#252;kt&#252;r. O halde, a ile b yi incelemeliyiz.


    Buradan, a < b bulunur. B&#246;ylece, a < b < c elde edilir. Doğru se&#231;enek (b) dir.

    &#214;rnek:

    olduğuna g&#246;re a, b, c sayıları sırasıyla, aşağıdakilerden hangisindeki sayılar olabilir?
    a) 6/45, 11/45, 12/45
    b) 4/27, 6/27, 7/27
    c) 5/36, 6/36, 7/36
    d) 2/18, 5/18, 6/18
    e) 7/54, 9/54, 15/54

    &#199;&#246;z&#252;m:
    Bu t&#252;r sorularda se&#231;eneklerden gidilmelidir. Kesirlerin paydaları se&#231;eneklerin paydalarına eşit olacak şekilde genişletilmelidir.
    a) Bu şıkta paydalar 5 ile genişletilmiştir. O halde, 5 ile genişletirsek
    5/45 < a < b < c < 10/45
    olur. Burada, b ve c yer almaz. Dolayısıyla, bu se&#231;enek doğru olamaz.
    b) Bu şıkta paydalar 3 ile genişletilmiştir. O halde, 3 ile genişletirsek
    3/27 < a < b < c < 6/27
    olur. Burada da, b ile c bu aralıkta yer almaz. Dolayısıyla bu se&#231;enek doğru olamaz.
    c) Bu şıkta paydalar 4 ile genişletilmiştir. O halde, 4 ile genişletirsek
    4/36 < a < b < c < 8/36
    olur. Burada, a, b ve c bu aralıkta yer alır. Dolayısıyla, doğru se&#231;enek bu se&#231;enektir.
    d) ve e) se&#231;enekleri yukarıdaki nedenlerle doğru se&#231;enek olamaz.

  3. #3
    CaNDy'S
    Misafir

    Tanımlı

    RASYONEL SAYILARLA ARİTMETİKSEL İŞLEMLER

    KESİR

    a ve b birer tamsayı ve b sıfırdan farklı olmak &#252;zere, a/b şeklindeki ifadelere kesir adı verilir. Burada a' ya kesrin payı, b' ye de kesrin paydası denir. Bir başka deyişle, kesir bir b&#252;t&#252;n&#252;n eşit par&#231;alarından birini ve birka&#231;ını g&#246;steren sayıdır. Kesrin paydası, b&#252;t&#252;n&#252;n ka&#231; eşit par&#231;aya b&#246;l&#252;nd&#252;ğ&#252;n&#252; belirtirken, kesrin payı da bu eşit par&#231;alardan ka&#231; tane alındığını g&#246;sterir. &#214;rneğin, 2/5 kesri, bir b&#252;t&#252;n&#252;n 5 eşit par&#231;aya b&#246;l&#252;nd&#252;ğ&#252;n&#252; ve bu par&#231;alardan 2 par&#231;anın alındığını ifade eder.

    DENK KESİRLER

    a, b, c, d birer tamsayı ve b ile d sıfırdan farklı olmak &#252;zere, a/b ile c/d birer kesir ve a.d = b.c ise, a/b ile c/d kesirlerine denk kesirler denir. &#214;rneğin, 3/5 kesrine denk olan kesirler ş&#246;yle yazılabilir:
    3/5, 6/10, 9/15, 12/20, 15/25, ... , 3m/5m, ...
    Burada, m sıfırdan farklı bir tamsayıdır. Bir kesrin pay ve paydası, sıfırdan farklı bir tamsayı ile &#231;arpılır veya b&#246;l&#252;n&#252;rse, kesrin değeri değişmez. Bir kesrin payı ve paydası, aynı sayı ile &#231;arpılırsa, buna kesrin genişletilmesi denir. Bir kesrin genişletilmesine ş&#246;yle &#246;rnek verebiliriz:

    Şayet bir kesrin pay ve paydası, aynı sayı ile b&#246;l&#252;n&#252;rse, buna da kesrin sadeleştirilmesi denir. Bir kesrin sadeleştirilmesine de ş&#246;yle &#246;rnek verebiliriz:


    BAYAĞI KESİR
    a ve b birer doğal sayı ve b sıfırdan farklı olmak &#252;zere, a/b şeklindeki ifadelere, bayağı kesir denir. Bayağı kesirler &#252;&#231;e ayrılır:

    1. Basit Kesirler:
    Payı, paydasından k&#252;&#231;&#252;k olan bayağı kesirlerdir. &#214;rneğin,
    2/3, 3/5, 4/7, 1/2, 9/10, 1/3, 2/7, 10/15, ...
    şeklindeki bayağı kesirlerin t&#252;m&#252;, basit kesirdir. Bununla birlikte, payı 1 olan basit kesirlere, birim kesirler denir. Burada, 1/2 ile 1/3 basit kesirlerinin payları 1 olduğu i&#231;in, birim kesirlerdir.

    2. Bileşik Kesirler:
    Payı, paydasına eşit veya paydasından b&#252;y&#252;k olan bayağı kesirlerdir. &#214;rneğin,
    3/2, 5/3, 7/4, 2, 10/9, 3, 7/2, 15/10, 12/12, ...
    şeklindeki bayağı kesirlerin t&#252;m&#252;, bileşik kesirdir. &#199;&#252;nk&#252;, bu kesirlerin t&#252;m&#252;n&#252;n payı, paydasından b&#252;y&#252;kt&#252;r.

    3. Tamsayılı Kesirler:
    a, b, c birer doğal sayı ve b < c ve a sıfırdan farklı olmak &#252;zere,

    şeklinde g&#246;sterilen kesirlerdir. Yani, tamsayılı kesirler, sıfırdan farklı bir doğal sayı ve basit kesir ile birlikte yazılan kesirlerdir. &#214;rneğin,

    kesri, tamsayılı bir kesirdir. Buradan, bir tamsayılı kesrin, bileşik kesir şeklinde yazılabileceğini g&#246;r&#252;r&#252;z. Aynı şekilde, bir bileşik kesrin de tamsayılı kesir şeklinde yazılabileceğini s&#246;yleyebiliriz. Bileşik bir kesri, tamsayılı bir kesre ş&#246;yle &#231;evirebiliriz: Kesrin payı, paydasına b&#246;l&#252;n&#252;r, b&#246;l&#252;m tam kısmını, kalan pay kısmını oluşturur ve payda aynen alınır. &#214;rneğin, 11/5 bileşik kesrini g&#246;z&#246;n&#252;ne alalım. 11, 5' e b&#246;l&#252;n&#252;rse, b&#246;l&#252;m 2 ve kalan 1 olduğundan,

    şeklinde yazabiliriz.
    Not: Kesirler, eksili (negatif) de olabilirler.

    &#214;rnek:

    kesrinin basit bir kesir olabilmesi i&#231;in, x ka&#231; tane değer alır?

    &#199;&#246;z&#252;m:
    Bir kesrin basit bir kesir olabilmesi i&#231;in, payının paydasından k&#252;&#231;&#252;k olması gerekir. Dolayısıyla, 2x - 3 < 12 olması gerekir. x' i yalnız bırakabilmek i&#231;in, 3 sayısını eşitsizliğin sağ tarafına atarsak,
    2x < 12 + 3
    2x < 15
    x < 15/2
    bulunur. x doğal sayı olduğuna g&#246;re, 15/2' den k&#252;&#231;&#252;k doğal sayılar,
    x = {0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7}
    dir. Bu nedenle, x, bu 8 tane değeri alırsa, kesir basit kesir olur.

  4. #4
    yabanci DjXu Buraların yabancısı
    Üyelik Tarihi
    Nov 2007
    Bulunduğu Yer
    Cehennemin Dibi
    Mesajlar
    1
    Tecrübe Puanı
    0

    Oku Ce: Rasyonel Sayılar ve Özellikleri

    [quote=CaNDy'S;95381]1-RASYONEL SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ
    A)Rasyonel Sayılar:Birbirine denk olan kesirlerin meydana getirdiği her kümeye rasyonel sayı denir.Rasyonel sayıların meydana getirdiği kümelere rasyonel sayılar kümesi denir.Rasyonel sayılar kümesi “Q” ile gösterilir.

    NOT:Her tam sayı rasyonel sayı olarak yazılabilir.
    ÖR:
    Yandaki şekilde,bir bütün 4 eş parçaya
    bölünmüş ve bu eş paçalardan üç tanesi . taranmıştır.

    3
    4

    Taralı bölge,bütünün üç tane parçası(kesri)dir.Bu parçaları belirten kesir, 3 biçiminde gösterilir.
    4
    3 kesrinde; 3’e pay,4’e payda denir: 3 kesri, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur.

    NOTıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir.

    Pozitif rasyonel sayılar kümesi “Q+”ile gösterilir. Negatif rasyonel sayılar kümesi”Q-“ile gösterilir.


    Q = Q- U {0} U Q+








    -1-
    B)Rasyonel Sayıları Karşılaştırma (büyüklük ,küçüklük)
    1-Paydaları eşit olan rasyonel sayılar:
    Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda payı büyük olan daha büyük,payı küçük olan daha küçüktür.

    ÖR: 15 , 7 , 3 3 7 15
    20 20 20 20 20 20

    Paydaları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidir.Payı büyük olan negatif rasyonel sayılar küçük,payı küçük olan negatif rasyonel sayılar büyüktür.
    ÖR: 15 , 7 , 3 15 7 3
    20 20 20 20 20 20

    2-Payları eşit olan rasyonel sayılar:
    Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda paydası küçük olan daha büyük, paydası büyük olan daha küçüktür.

    ÖR: 7 , 7 , 7 7 7 7
    9 5 3 3 5 9

    Payları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidir.Paydası büyük olan negatif rasyonel sayılar büyük paydası küçük olan negatif rasyonel sayılar küçüktür.

    ÖR: 7 , 7 , 7 7 7 7
    9 5 3 9 5 3

    3-Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılar:
    Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılarda pay paydaya bölünerek sıralama yapılır.
    ÖR: 18 , 7 , 48 18:3=6 48 7 18
    3 4 57 7:4=1,75 57 4 3
    48:57=0,84


    -2-



    Arada olma
    İki rasyonel sayı arasına bir yada birkaç rasyonel sayı yerleştirmeye denir.
    ÖR: 2 ile 4
    3 5

    I.YOL: 2 4 II:YOL:2 4 III.YOL: 1 2 4
    3 5 3 5 2 3 5
    2

    1 2 4 1 10 12 1 22 22
    2 3 5 2 15 15 2 15 30


    ÖR: 5 ile 7 1 5 7 1 15 14
    4 6 2 4 6 2 12 12

    1 29 29
    2 12 24

    5 29 7
    4 24 6
    C-İrrasyonel sayılar:
    Sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olmasına karşın,rasyonel olmayan
    gibi sayılara irrasyonel sayılar denir.İrrasyonel sayıların oluşturduğu kümeye irrasyonel sayılar kümesi denir.
    Gerçek (reel) sayılar kümesi:Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayıların birleşim kümesine gerçek (reel) sayılar kümesi denir.Gerçek
    sayılar kümesi ,sayı ekseninin her noktasını doldurur.Sayı doğrusu üzerinde her noktaya bir gerçek sayı her gerçek sayıya da bir nokta karşılık gelir.
    Gerçek sayılar kümesi,”R” sembolü ile gösterilir.
    -3-


    2-RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ

    a)Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
    Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken ,rasyonel sayıların paydaları eşit değilse ,paydalar eşitlenir.Payların mutlak değerleri toplamı paya yazılır.Ortak payda,paydaya yazılır.toplananların ortak işareti,toplama ,işaret olarak verilir.

    Tam sayılı kesirler toplanırken ,bu kesirler bileşik kesre çevrilerek toplama işlemi yapılır.

    ÖR: +3 +7 +3 +35 +3 +38
    5 1 5 35 3 5

    b)Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
    Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken, rasyonel sayıların paydaları eşit değilse eşitlenir.payların mutlak değerleri farkı alınır,paya yazılır.Ortak payda ,paydaya yazılır.toplam olan rasyonel sayının işareti ise,mutlak değeri büyük olan rasyonel sayının işaretidir.

    ÖR: 1 2 1 20 24 15
    3 5 4 60 60 60


    +20+24+(-15)
    60

    +44+(-15)
    60

    29
    60




    -4-
    3-RASYONEL SAYILAR KÜMESİNDE TOPLAMA
    İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

    a)Kapalılık özelliği:İki rasyonel sayının toplamı , yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.

    ÖR: - 2 + 2 -4 +2 -2
    3 6 6 6 6

    b)Değişme özelliği:Rasyonel sayılar kümesinde,toplama işleminin değişme özelliği vardır.

    ÖR: -4 +1 -8 +7 -1
    7 2 14 14 14

    +1 -4 +7 -8 -1
    2 7 14 14 14

    -4 +1 +1 - 4
    7 2 2 7

    c)Birleşme özelliği:rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

    ÖR: 4 3 1 4 4 8
    5 5 5 5 5 5

    4 3 1 7 1 8
    5 5 5 5 5 5

    4 3 1 4 3 1
    5 5 5 5 5 5





    -5-
    d)Etkisiz (birim) eleman özelliği:”0”tam sayısına,rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim )elemanı denir.
    ÖR: -7 -7 -7 -7
    9 9 9 9

    buna göre;

    -7 -7
    9 9


    e)Ters eleman özelliği:Toplamları “0”tam sayısına eşit olan iki rasyonel sayıya toplama işlemine göre birbirinin tersi denir.

    ÖR: +5 -5
    20 20

    -5 +5
    20 20

    4-RASYONEL SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ
    İki rasyonel sayının farkı bulunurken,eksilen rasyonel sayı,çıkan rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi ile toplanır.

    ÖR: +3 +1 +3 -1 +18 -5 +13
    5 6 5 6 30 30 30



    ÖR: +7 +5 +7 +25
    10 2 10 10

    +7 -25 -18
    10 10 10



    -6-

    Yukarıda verilen örneğe göre iki rasyonel sayının farkı,yine bir rasyonel sayıdır.Buna göre ;
    Rasyonel sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır.

    5-RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ
    İki rasyonel sayının çarpma işlemi payların çarpımı paya,paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır.

    NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının çarpımı pozitif , ters işaretli iki rasyonel sayının çarpımı ise negatif bir rasyonel sayıdır.
    Yani:
    + x + = +
    - x - = +
    - x + = -
    + x - = -


    ÖR: -4 +3 (-4)x(+3) -12
    1 4 1 x 4 4

    NOT:Tam sayılı kesir biçminde verilen rasyonel sayılar çarpılırken önce tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir.Sonra çarpma işlemi yapılır.


    6-RASYONEL SAYILAR KÜMESİNDE ÇARPMA
    İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
    a)Kapalılık özelliği:
    İki rasyonel sayının çarpımı yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.

    ÖR: +3 -2 -6
    4 3 12



    -7-
    b)Değişme özelliği:
    Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

    ÖR: -19 -1 +19
    20 3 60

    -1 -19 -19
    3 20 60



    c)Birleşme özelliği:
    Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
    ÖR: +3 -2 +1 -6 +1 -6
    1 3 5 3 5 15

    +3 -2 +1 +3 -2 -6
    1 3 5 1 15 15


    d)Yutan eleman:
    Bir rasyonel sayının “0”sayısı ile çarpımı “0”dır.”0”sayısına ,çarpma işleminin yutan elemanı denir.

    ÖR: -7 -7
    9 9

    e)Etkisiz birim eleman:
    +1 rasyonel sayısına, çarpma işlemine göre etkisiz (birim) eleman denir.

    ÖR: +4 +4 +4 +4
    3 3 3 3


    -8-
    f)Ters eleman:
    Çarpımları +1 olan iki rasyonel sayıya çarpma işlemine göre tersi denir.

    ÖR: +2 +3 2 x 3 +1
    3 2 3 x 2 1

    g)Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği:
    Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

    ÖR: +1 +2 +1 +1 +3 +3
    2 4 4 2 4 8

    +1 +2 +1 +1 +2 +1 +1
    2 4 4 2 4 2 4

    +2 1 +3
    8 8 8

    h)Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği:
    Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
    ÖR: 1 2 1 1 1 1
    2 4 4 2 4 8

    1 2 1 1 2 1 1
    2 4 4 2 4 2 4

    2 1
    8 8

    1
    8



    -9-
    7-RASYONEL SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ
    İki rasyonel sayının bölme işlemi yapılırken, bölünene rasyonel sayı , bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır.Elde edilen çarpım bölümü verir.
    NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının bölümü pozitif;ters işaretli ki rasyonel sayının bölümü ise negatif bir rasyonel sayıdır.

    Yani: + x + = +
    - x - = +
    - x + = -
    + x - = -


    ÖR: -3 +2 -3 +4 -3
    4 4 4 2 2



    +1 tam sayısının , bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm,bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersine eşittir.

    ÖR: -2 1 -7 -7
    7 1 2 2


    (-1)tam sayısının, bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersinin ters işaretlisine eşittir.

    ÖR: 12 +17 17
    17 12 12






    -10-
    Bir rasyonel sayının , +1 tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm , rasyonel sayının kendisine eşittir.


    Bir rasyonel sayının,(-1) tamsayısına bölünmesinden elde edilen
    bölüm , bölünen rasyonel sayının toplama işlemine göre tersine eşittir.

    ÖR: -2 -2 1 -2 1 -2
    7 7 1 7 1 7

    ÖR: -2 -2 -1 -2 -1 2
    7 7 1 7 1 7


    NOT:Sıfır sayısının , sıfırdan farklı olan her rasyonel sayıya bölümü ”0” dır.


    Bir rasyonel sayının sıfıra bölümü taımsızdır.
    Rasyonel sayılar kümesinde bölme işleminde , doğal sayılar ve tam sayılar kümesindeki bölme işleminde olduğu gibi; ”bölünen = bölen x bölüm” ilişkisi vardır.

    NOT:Rasyonel sayılar kümesi , bölme işlemine göre kapalıdır.

    NOT:Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin değişme özelliği yoktur.

    NOT:Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.

    DjXu Product

+ Konu Cevapla

Benzer Konular

  1. Cevaplar: 6
    Son Mesaj: 02-09-2011, 20:16
  2. Cevaplar: 1
    Son Mesaj: 12-23-2010, 15:39

Etiketler

Yetkileriniz

  • You may not post new threads
  • You may not post replies
  • You may not post attachments
  • You may not edit your posts

Content Relevant URLs by vBSEO 3.6.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375