Monoton Diziler
Herhangi bir ( an ) dizisinde için ,
an+1 < an an monoton azalandır.
an+1 > an an monoton artandır.
an+1 an an monoton artmayandır.
an+1 an an monoton azalmayandır.
Artan veya azalan dizilere kısaca monoton dizi denir.
Örnek: dizisinin monotonluk durumunu inceleyiniz?
Çözüm:
an+1 - an =
=
=
=
= >0
an+1 - an > 0
an+1 > an olduğundan monoton artandır.
NOT: olmak üzere genel terimleri biçiminde olan dizilerin monotonluk durumlarını incelemek için aşağıdaki yol izlenir.
1- Paydanın kökü olan –d/c>1 ise dizi ne artan ne azalandır.
2- –d/c<1 ise dizi monotondur. Ayrıca eğer ad–bc>0 ise artan, ad–bc<0 ise azalandır.
3- ad–bc=0 ise dizi sabit dizidir.
Örnek: dizisinin monotonluk durumunu inceleyiniz?
Çözüm:
a=7
b=9
c=5
d=1
–d/c = –1/5 < 0 olduğundan dizi monotondur.
ad–bc = 7.1–9.5 = –38 < 0 olduğundan dizi monoton azalandır.
Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesi
Reel sayılar kümesine ¥ (artı sonsuz) ve - ¥ (eksi sonsuz) un katılmasıyla oluşan kümeye genişletilmiş reel sayılar kümesi denir. K Î R olmak üzere (K, ¥) aralığına ¥’ un K komşuluğu (- ¥, K) aralığında - ¥ un koşuluğu denir.
Örnek:
(an) = (n2) dizisinin limiti nedir?
(an) = (n2) dizisinin " K Î R için hemen hemen her terimi (K , ¥) aralığındadır. Yani ¥ un K komşuluğundadır. Buna göre, lim (an) = ¥ dur. Ancak, ¥ bir reel sayı olmadığı için “(an) yakınsaktır” denilemez. Bu durumu “(an) dizisi ¥ a ıraksar” şeklinde ifade ederiz.
Sonsuzla Yapılan İşlemler
1. (+¥) + (+¥) = (+¥) ; (-¥) + (-¥) = (-¥)
2. (+¥) . (+¥) = (+¥) ; (+¥) . (-¥) = (-¥) ; (-¥) . (-¥) = (+¥)
3. a+(+¥) = +¥ ; a+(-¥) = (-¥) aÎ R
4. a.(+¥) = +¥ aÎ R ; a.(-¥) = (-¥) aÎ R ; a.(+¥) = (-¥) aÎ R- ; a.(-¥) = (+¥) aÎ R-
5. = 0 , aÎ R ; = 0 , aÎ R
6. (+¥)n = +¥ , n Î N+ ; (+¥)2n = +¥ , n Î N+ ; (+¥)2n-1 = -¥ , n Î N+
7. 0. (+¥) ; (+¥)–(+¥) ; ifadeleri belirsiz ifadelerdir.

Bazı Özel Limit Alma Kuralları
1) dir.
2) , ve ise dir.
3) (bn) dizisinin terimleri pozitif olmak üzere, ise (an) = dizisinin limiti de b dir.
4) için dir.
5) Bir (bn) dizisi için lim(bn) = b ise, genel terimi an = olan (an) dizisinin limiti, lim(an) = b dir. Bu özellik a’nın olması durumunda da geçerlidir.
6) (bn) pozitif terimli bir dizi ve lim(bn) = b ise, genel terimi an = olan (an) dizisinin limiti de b dir.
7) dır.
Eğer ise mutlak değerin içi pozitif ise mutlak değer içi negatif olduğundan mutla kdeğerli ifade bunlara göre tanımlanır ve limitin sonucu bulunur. Zaten dizilerde daima dur.
ifadesinde a<0 ise dizinin limiti yoktur.
Sınırlı dizi komşuluk dizilerde limit

--------------------------------------------------------------------------------

Sınırlı Dizi
Hem alttan hem üstten sınırlı dizilere kısaca sınırlı diziler denir. b ve c sabit sayılar olmak üzere için, sınırlı
Sınırlı Dizilerin Özellikleri:
(an) ve (bn) sınırlı diz ve k R+ ise;
(an)+(bn) toplamı sınırlıdır.
(an).(bn) çarpımı sınırlıdır.
k.(an) çarpımı sınırlıdır.
c R olmak üzere; (cn)=(c) ise (cn) sınırlıdır.
(an) sınırlı bir dizi ve n N+ için bn an ise (bn) dizisi de sınırlıdır.
(an) sınırsız bir dizi ve n N+ için an bn ise (bn) dizisi de sınırsızdır.
(an) ve (bn) sınırlı diziler ise ve n N+ için bn cn an ise (cn) diziside sınırlıdır.
Yakınsak olan her dizi sınırlıdır. Fakat sınırlı olan her dizi yakınsak olmayabilir.
Komşuluk
a ve e birer reel sayı ve e > 0 olmak üzere, (a - e , a + e) açık aralığına a’ nın e (epsilon) komşuluğu denir.

K = (a - e , a + e) = {x: |x – a| < e , x Î R}
Örnek: (an) = dizisi veriliyor.
(an) in sınırlı olduğunu gösteriniz.
EKÜS ve EBAS değerlerini bulunuz. Dizinin en küçük ve en büyük elemanı varsa bulunuz.
Çözüm:
a) için, Buna göre (an) sınırlıdır.
b) EKÜS (an) = ve EBAS (an) = 0 dır.
dizinin elemanıdır. Fakat 0 değildir. O halde dizinin en büyük elemanı iken en küçük elemanı yoktur.
Örnek: (an) = dizisi veriliyor. Bu dizinin 3 ün komşuluğunda olmayan kaç tane terimi vardır?
Çözüm: 3’ün komşuluğu K= dir. Bu komşulukta olmayan terimler
K’= kümesinin elemanıdır.
a’nın 3’ün komşuluğunda olmayan n tane terimi varsa,


olmalıdır. olmalıdır. Bu nedenle 3’ün komşuluğunda olmayan dizinin 9 tane elemanı vardır.
Not: 3’ün komşuluğunda bulunan terimleri ise sonsuz sayıdadır.
DİZİLERDE LİMİT
a, r gerçel sayılar ve r>0 olsun.
Bir (an) dizisinin sonlu sayıdaki terimleri hariç diğer tüm terimleri a’nın r komşuluğunda ise (an) dizisinin limiti a dır, denir.
(an) dizisinin limiti hesaplanırken n nin sonsuza gittiği varsayılır. ( ) (an)’nin limiti a gibi bir gerçek sayı ise bu durum veya şeklinde gösterilir.
Limiti olan diziye yakınsak dizi, olmayan diziye de ıraksak dizi denir.
Limit Teoremleri:
c R ve lim an = a ise lim(c.an) = c.a dır.
lim an = a ve lim bn = b olsun
lim (an bn) = a b
lim (an.bn ) = a.b
lim (an/bn ) = a/b bn 0 ve b 0
Sabit diziler yakınsaktır ve limiti sabitin kendisidir.
(an) c
(an) dizisi a’ya yakınsıyor ise (an) dizisinin tüm alt dizileri de a’ya yakınsar. Yani;
lim an = a ve ise lim =a olur.
(an) dizisinin tüm alt dizilerinin limitleri aynı değilse (an) dizisi ıraksaktır.
ve an cn bn için
lim an=lim bn=a ise lim cn=a dır.
lim an=a olsun r>0 ise
lim ra =ra dır.
|a|<1 ise (an) 0
a>1 ise (an) +
a>-1 ise (an) an dizisinin limiti yoktur.
,
Her n N+ için an 0 ve (an) 0 ise
(sin an / an) 1 dir.
10)
11)
12) ise dır.
Teorem:
Teorem: (an) = dizisinde
k=p ise dır. dir.
k<p ise dır.
k>p ise dizi yakınsak değildir.
Örnek: dizisinin limitini bulunuz?
Çözüm:

Örnek: a) b) dizilerinin limitlerini bulunuz.
Çözüm:
a) = =
b) = = olduğundan
olduğundan ve dır.
Örnek: (an) = 23n+2 / n+5 dizisinin limitini bulunuz?
Çözüm:

olduğuna göre dizilerde limit işlemlerinin özelliklerinden lim ra =ra da görüldüğü gibi;
lim (an) = lim (23n+2 / n+5) = 23 = 8 dir.
Alt ve Üst Limitler:
Bir (an) dizisinin yakınsak alt dizilerinin limitlerinin en küçüğüne dizinin alt limiti, en büyüğüne de dizinin üst limiti denir.
(an) dizisinin alt limiti lim an ile, üst limiti ise an ile gösterilir.
an = lim an à an yakınsaktır.







Örnek:

genel terimi ile verilen an dizisinin alt ve üst limitlerini bulunuz?
Çözüm:

(an) dizisinin diğer alt dizileri ise ya ıraksak olur yada bu üç terimden birine yakınsar.

olduğundan dolayı dizi ıraksaktır.
Örnek: dizisinin alt ve üst limitlerini bulunuz?
Çözüm:

olarak bulunur.